1.问题描述
下表是由中国国家统计局提供的《50个城市主要食品平均价格变动情况》整理得到的2016年1月到5月豆角价格数据表，请建立数学模型解决下来两个问题：
（1）豆角价格有什么特点？
（2）对6月份豆角价格变化情况进行预测。
| 月份 | 一月 | 二月 | 三月 | 四月 | 五月 | ||||||||||
| 日期 | 1-10 | 11-20 | 21-30 | 1-10 | 11-20 | 21-30 | 1-10 | 11-20 | 21-30 | 1-10 | 11-20 | 21-30 | 1-10 | 11-20 | 21-30 |
| 价格 | 10.36 | 10.19 | 12.69 | 12.14 | 17.4 | 16.47 | 17.69 | 17.22 | 15.48 | 13.82 | 11.76 | 10.93 | 9.15 | 7.92 | |
2.模型假设，符号说明
2.1 模型假设
一个国家的宏观经济会呈现周期性，因此作为一国宏观经济的组成部分之一的物价水平也会呈现周期性，随着经济周期的上下波动，物价水平也会上下波动。基于这点，描述物价水平的数学模型——经验公式也应该具有周期性。我们不妨假设描述物价水平数学模型是一个周期函数，并且可以转化为傅里叶级数。
2.2 符号说明
从表中，我们不难发现，国家统计局会在一个月里对50个城市主要食品平均价格变动情况进行三次调查统计，分别是1-10日，11-20日和21-30日三个时间区间。因此，描述物价水平的周期函数的自变量是月份。为了方便处理，我们再做一次抽象处理，将时间抽象为整数N，其中0<=N<=36。那么如何使用N来表示某一个月呢？又如何使用N来表示某一个月里的第几次调查呢？为此，我们使用如下两个运算符（高级编程语言中都有这两个运算符）：
/：整除运算符，比如13/3=4
%:取模运算符，比如13%3=1
这样整数N与月份和当月的第几次调查之间的关系可以表示如下：
调查次序Q=N%3
如果Q=0，那么调查月份M=N/3，否则M=N/3 + 1
比如取N=13，那么调查次序Q=1，调查月份M=5，这表示5月份的第一次调查，即调查时间为5月1-10日。
3.数学建模
接下来看看，如何使用MATLAB的数据拟合工具解决该问题。
设时间矩阵N = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]；
豆角价格的矩阵vigna= [10.36 10.19 12.69 12.14 17.4 16.47 17.69 17.22 15.48 13.82 11.76 10.93 9.15 7.92]；
3.1 进入数据拟合窗口
在MATLAB命令行窗口中输入cftool，回车即可。
3.2 数据拟合
在区域1中选择相应坐标轴的变量名，在区域2中选择拟合的函数模型，在区域3会会自动显示拟合的图像，在区域4中会给出拟合后的函数表达式。
区域2中可以选择的函数模型有：
Custom Equation 自定义方程
Exponential 指数拟合
Fourier 傅里叶拟合
Gaussian 高斯拟合
Interpolant 插值
Linear Fitting 线性拟合
Polynoimal 多项式
Power 幂函数拟合
Rational 有理拟合，两个多项式之比，分子和分母都是多项式
Smoothing Spline 平滑样条
Sum of Sine 正弦曲线拟合
Weibull 韦布尔拟合
区域4中显示拟合结果的评价指标，含义如下：
SSE：Sum of Squares due to Error误差平方和，越接近0曲线的拟合效果（由最小二乘法计算得出）
R-square：越接近1，曲线的拟合效果越好
Adjusted R-square：越接近1，曲线的拟合效果越好
RMSE：root mean square error 均方根误差，越接近0曲线的拟合效果
最后看看本题的拟合效果，如下图所示。
最后看看，区域4中显示的函数模型：
General model Fourier1:
f(x) = a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a0 = 13 (11.75, 14.25)
a1 = -4.347 (-5.235, -3.459)
b1 = 0.34 (-3.128, 3.808)
w = 0.4398 (0.3295, 0.5501)
Goodness of fit:
SSE: 9.611
R-square: 0.9314
Adjusted R-square: 0.9108
RMSE: 0.9803
通过各种函数模型的拟合发现这个模型拟合效果最好，R-square: 0.9314，非常接近于1。
因此描述豆角价格变化规律的数学模型就是：
vigna = f(N) = 13 + -4.347*cos(N*0.4398) + 0.34*sin(N*0.4398)
这是一个周期函数，符合经济周期的规律。
至此，本题基本解决了。
4.总结
本文通过一个数学建模题目讲解了MATLAB中数据拟合工具的使用，该工具比较简单，但是功能很强大。MATLAB中含有许多功能强大的工具，读者有兴趣的话，可以继续探索，在使用该工具时，也可以从软件设计的角度去欣赏，个人觉得MATLAB软件的设计是一个经典的学习例子。