在数字信号处理领域，绝大多数信号均可表示为矩阵的形式。然而，随着矩阵规模的
快速增长，矩阵处理的计算复杂度和存储复杂度急剧增加，这对计算时间及存储空间带来
了巨大的挑战。幸运的是，矩阵之间通常存在一定的相关性，因此，充分挖掘矩阵间的相
关性，能够大大降低矩阵处理算法的计算复杂度和存储复杂度。基于以上背景，本文针对
给定的相关矩阵组，充分挖掘矩阵间的相关性，对具体的矩阵处理算法进行优化并进行存
储建模。
对于问题 1 第一部分，首先基于 Pearson 线性相关系数，分析了矩阵内及矩阵间的线
性相关性，并得出矩阵间存在明显相关性，而矩阵内部几乎不存在相关性的结论。因此可
以利用左右相邻矩阵描述中间矩阵，也可以用中间矩阵描述其左右相邻矩阵。基于此结论，
相关矩阵组的低复杂计算可以从两个方面进行优化：（1）利用计算复杂度更低的随机奇
异值分解算法，用降维后小矩阵的奇异值分解代替大矩阵的奇异值分解。另一方面，仅生
成一次全局共用的随机奇异值分解中需要的高斯分布随机矩阵，并用可变模型精度的迭代
QR 分解算法替代常规 QR 分解，仅得到需要的前 P 列标准正交矩阵 Q。（2）充分利用矩
阵间的线性相关性，对于矩阵组的每一行块，将每三个相邻矩阵视为一组，用中间矩阵计
算得到的 Q 矩阵作为整组共用的 Q 矩阵。通过上述两方面的优化，能够大幅度降低相关矩
阵组奇异值分解的计算复杂度。
对于问题 1 第二部分，其重点在于矩阵的求逆运算。通过分析可知，求逆对象为 Hermite
矩阵，因此可采用基于 Hermite 矩阵求逆引理的矩阵递推求逆方法进行矩阵求逆。递推求
逆方法能够在得到与常规方法相同精确解的前提下，进一步降低计算复杂度。将该递推求
逆方法与改进的奇异值分解算法结合，可实现从 H 矩阵组到 W 矩阵组的低复杂度求解过
程。
对于问题 2，考虑到同一行块矩阵间线性相关性强的特点，利用线性插值的思想，设
计出三种压缩与解压缩模型：
模型①：通过对矩阵组同一行块中矩阵做隔位舍弃的操作，能仅依靠矩阵组的拆解、
组合操作，实现对矩阵组的有效压缩；在解压过程中，通过利用舍弃矩阵相邻两个矩阵的
算术平均，实现矩阵的插值恢复。该模型计算复杂度低，但解压缩误差较大，仅适合相关
性较强的矩阵组。
模型②：为了改善模型压缩误差较大的问题，使得模型能够满足给定的压缩误差，模
型②通过对矩阵组同一行块中序号为 k 倍数的矩阵进行舍弃，实现压缩误差与压缩率的互
换；在解压过程中，依旧利用算术平均的方式，实现舍弃矩阵的插值恢复。相比于模型①，
尽管压缩效率有所损失，但压缩误差会有效降低，并且解压缩的计算复杂度也会有一定的
降低。
模型③：为了充分发挥相关性对矩阵压缩的作用，结合 Pearson 线性相关系数对插值
恢复过程进行进一步改进。压缩阶段中，在舍弃序列号为 k 倍数的矩阵同时，计算舍弃矩
阵与相邻两个矩阵的 Pearson 线性相关系数。以此作为基础，在解压阶段，根据舍弃矩阵
与相邻左右两个矩阵的相关系数，得到加权平均的权值，并对舍弃矩阵进行加权平均的插
值恢复。相比模型②，该模型能够在不改变压缩率的情况下，充分利用矩阵间相关性，进
一步降低压缩误差，解决了由于舍弃矩阵与两边相邻矩阵相关性差异较大导致的恢复效果
较差的问题。但该模型会增加一定的计算复杂度与储存空间。
对于问题 3，考虑从矩阵输入信号 H 到近似矩阵输出信号 W 的端到端流程。对本文建
立的模型分析可知，本文采用的是舍弃列块的压缩方法。因此可以充分利用需要舍弃的列
块在原矩阵组中的位置信息对本文的模型进行优化。通过利用舍弃矩阵列块的位置信息，
使得 V 矩阵的计算复杂度进一步降低，并能直接生成压缩矩阵 W，无需生成压缩前的 W
矩阵，因此改进后的模型拥有更低的计算复杂度和存储空间。

关键词：Pearson 线性相关系数；矩阵相关性；随机奇异值分解；线性插值；Hermite 矩阵
递推

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