摘要：

在信号处理的各个领域如无线通信、 阵列雷达、 计算机视觉等，矩阵始终都是这些信
号进行数学计算与推导的一个重要工具， 这一系列的信号矩阵间往往在某些维度会存在一
定的关联特性， 由相关矩阵组来表示。 而在物联网迅猛发展的今天， 随着各类传感器阵列
规模的持续扩大，常规处理算法对计算和存储的需求成倍增长， 给各类大规模系统的实现
成本和功耗的需求带来了巨大的挑战。 因此，需要充分地挖掘矩阵间的关联性，降低相关
矩阵组计算、压缩、解压缩流程中各步骤的运算与存储的复杂度。在不影响结果精度的前
提下，建立或优化近似计算相关矩阵组的合适方法和模型，从而使得整体流程的计算复杂
度和存储复杂度得到明显的降低，便于工程实践用。
针对问题一： 本题不用考虑矩阵压缩与解压缩问题，只需要在满足   min ( ) 0.99 W  = th ，
以及计算复杂度尽可能低的约束条件下，建立近似计算的模型。 我们从影响复杂度的几个
关键环节出发，设计两步法模型V H W V ˆ = = f f 1 2 ( ), ( ˆ ˆ)。在该模型中，第一步利用给定矩阵
间的关联性，进行加权变步长的合理采样，并在最后通过最邻近插值的方法进行数据补齐，
使得整体矩阵组计算量从 K 次运算直接降到了 K /  次。第二步，对比多个奇异值分解
（SVD）方法，采用 Shlien S 提出的近似奇异值 SVD 分解的方法，将矩阵进行矢量化拼
接，进而迭代获得右奇异向量矩阵，使得该部分的计算复杂度由常规方法的O N M M ( ) 3 3 3 +
降到了O N M M N (3 3 ) 2 2 + 。第三步，对比矩阵求逆的各类求解，我们利用基于 Nuemann 级
数 1 阶展开近似矩阵求逆的方法，将复杂度较高的矩阵求逆过程，转换成一个最小二乘法
的迭代求解问题，也使得该部分复杂度由((LJ )3) 降低到((LJ )2)。最后，利用所给的 6
组矩阵数据分析发现，与常规算法相比，计算复杂度大约降低 500 倍（10²量级），说明了
模型设计的有效性。
针对问题二：本题主要在满足误差err E err E H W  = –  = – th th 1 2 30dB 30dB 、 的约束条件
下，设计矩阵组的压缩与解压缩模型，使得模型的存储和计算复杂度都最低。我们主要借
助于稀疏化和压缩感知的相关理论进行模型设计。对于压缩模型 P P 1 2 ( )、 ( )，我们先进行
一次自适应 Contourlet 变换操作实现矩阵稀疏化，再引入利用概率划分稀疏域（SDP）理论
的压缩感知算法完成矩阵内元素的数据压缩，最后采取类似于视频信号的帧间压缩的方法，
通过相关性补偿，实现矩阵间的压缩处理。 而对于解压缩模型G G 1 2 ( )、 ( ) ,我们利用矩阵
间、 矩阵内的相关度，设置合适的软硬阈值，采取 MH-BCS-SPL 这一匹配追踪算法重构原
始数据，实现数据的解压缩。 最后，利用本文所给的 6 组数据进行分析，发现在满足规定
误差的条件下，存储复杂度降低约 70%，计算复杂度也降低约 15%，再次验证了模型设计
的有效性。
针对问题三： 该题仅有   min (W )  = th 0.99 这个约束条件，需要在使得存储和计算复
杂度尽可能低的情况下，进行整个流程的黑盒模型的想象与设计，有较大的开放性。针对
该黑盒模型，我们主要有以下几种想法。一是在问题 1 和 2 的基础上，将 1 和 2 的模型，
进行简单的叠加，自然符合题目要求。二是借鉴求解半光滑方程组的正则化牛顿法， 对问
题 1 和 2 的模型，进行合适的权值匹配，实现整体流程的存储和计算复杂度的优化。三是，
完全打破 1 和 2 题的思维局限，结合已有的 H 和W 的数据，利用合适的神经网络（如 RNN），
直接对压缩后数据进行计算处理， 并根据数据中保留的特征来进行其余矩阵数据的填补，
学习出适合该计算的网络模型，实现大数据的计算和存储。

关键词： 相关矩阵组，计算复杂度，存储复杂度，变步长采样， 近似奇异值 SVD 分解
法， 基于 Nuemann 级数展开矩阵求逆， 自适应 Contourlet 变换， 概率划分稀疏域（SDP）
理论， 匹配追踪，半光滑牛顿法

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